[SICP] 問題 1.26 : expmodの計算に必要なステップ数

Louis Reasonerは問題1.24がなかなかうまくいかなかった. 彼の fast-prime?はprime?よりずっと遅いようであった. Louisは友人のEva Lu Atorに助けを求めた. Louisのプログラムを見ていると, squareを呼び出す代りに乗算を陽に使うように変っていた.

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (remainder (* (expmod base (/ exp 2) m)
                       (expmod base (/ exp 2) m))
                    m))
        (else
         (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m))
                    m))))

「違いが分らん」とLouis, 「分る」とEvaがいった. 「手続きをこのように書き替えたので, Θ(log n)のプロセスをΘ(n)のプロセスにしてしまった.」 説明せよ.

引数expの値に注目して, 手続きが生成するプロセスを図示してみます. まず, squareを用いた場合.

13 -- 12 -- 6 -- 3 -- 2 -- 1 -- 0

まず, squareを用いず, 乗算を用いた場合.

13 -- 12 -- 6 -- 3 -- 2 -- 1 -- 0
       |    |         |
       |    |         + -- 1 -- 0
       |    |
       |    + -- 3 -- 2 -- 1 -- 0
       |              |
       |              + -- 1 -- 0
       |
       + -- 6 -- 3 -- 2 -- 1 -- 0
            |         |
            |         + -- 1 -- 0
            |
            + -- 3 -- 2 -- 1 -- 0
                      |
                      + -- 1 -- 0

このように, squareを用いずに乗算を用いた場合, expの値が偶数の場合, expmodを２回呼び出しています. そのため, Θ(log n)のプロセスをΘ(n)のプロセスにしてしまい, 計算に時間がかかるようになります.